関数関係を明らかにする目的で重回帰を行うときは、GCVに替えてGCV_fを使う。

• 担当機関: （独）農業・食品産業技術総合研究機構 中央農業総合研究センター
• 研究期間: 2011～2012
• 研究担当者: 竹澤邦夫
• 発行年度: 2012
• 要約: 重回帰を行うときの予測変数の選択には、GCV(一般化クロスバリデーション)やAIC(赤池の情報量基準)を用いるのが通例である。これらは、予測誤差を表す統計量である。しかし、関数関係の有無を明らかにするためには異なった統計量が必要になる。そこで、新しい統計量GCV_f(fはflexibleを意味する)を提案する。
• キーワード: 危険率、GCV_f、重回帰、モデル選択、予測誤差
• 背景・ねらい: 重回帰を行う際には、GCVやAICを用いて予測変数を選択するのが普通である。しかし、これらの統計量は重回帰式の予測誤差を表すものなので、目的変数との間に線形の関数関係が存在する予測変数を選択しているとは限らない。そこで、目的変数との間に線形の関数関係が存在しないにもかかわらず、予測変数が選択されてしまう確率を、例えば10パーセントにする方法が必要になる。

成果の内容・特徴

1. 目的変数とは線形の関数関係にはない予測変数が偶然の作用で選択されてしまう確率を制御するための統計量として以下のGCV_fを提案する。
   
   ここで、qは予測変数の数、RSS(q)は、残差2乗和、F(n,k,p)は、pの値を設定したときに以下の式を満たす値である。
   
   den(1,n-q-1,x)は、第1自由度が1、第2自由度が(n-q-1)のF分布の確率密度関数である。このGCV_fはGCVの自然な拡張である。このpの値を調整する。
2. StatLibで公開されている、ボストンの住宅価格データの最初の50個を利用してGCV_fの検証を行った。予測変数の候補は、x₁（犯罪の発生率）、x₂（非商用地の割合）、x₃（部屋の数）、x₄（生徒あたりの教員数）の4つである。GCVによる総当たり法を使って予測変数選択を行うと、4つの予測変数の全てを用いる重回帰式になる。
3. このデータの目的変数の部分を、ブートストラップ法を用いてリサンプリングしたものを500組作成し、予測変数はそのままにして、GCVによる総当たり法を使って予測変数選択を行うと、図1が得られる。すなわち、目的変数の値が予測変数の値と無関係の場合でも0.5に近い確率で何れかの予測変数が選択される。すると、2の結果は信用できない。
4. 目的変数の値が予測変数の値と無関係の場合に、何れかの予測変数が選択される確率が0.1くらいになるときのpの値を求めるために、500回のシミュレーションを行った結果が表1である。pが0.05のとき、ほぼ0.1の確率で予測変数の数が0以外になっている。
5. pを0.05に設定したときのGCV_fを用いて総当たり法を実行すると、x₁、x₃、x₄を用いる重回帰式が最適になる。GCVを用いたときと異なる結果である。

成果の活用面・留意点

1. 農学や生物学における回帰の主な目的は、関数関係の発見である。従って、GCVやAICに替えて、GCV_fを用いるべき場面は多い。
2. この方法は従来の方法より予測変数の採用に関する危険率を小さくするものなので、検出力は小さくなる。つまり、採用するべき予測変数を採用しない確率が高くなる。
3. 40年位に渡って、回帰分析には検定と予測の2つの分野があった。今後は、知識発見という3つめの分野が重要な役割を果たす。GCV_fはその先駆となる。

• 研究内容: http://www.naro.affrc.go.jp/project/results/laboratory/narc/2012/160c0_02_02.html